Question

直線y=-

3

3

x+1和x軸，y軸分別交于點A，B，在線段AB為邊在第一象限內作等邊△ABC，如果在第一象限內有一點P(m，

1

2

)使得△ABP和△ABC的面積相等．
（1）求m的值．   
（2）求點C坐標．

Answer 1

分析：（1）由已知可得直線CP∥AB，設CP的方程為y=-

3

3

x+c，(c＞1)．利用點到直線的距離公式和等邊三角形的高與邊的關系可得

c-1

1+ 1 3

=AB×

3

2

=

3

，c=3，即可得到直線CP的方程為y=-

3

3

x+3，由于此直線經過過P(m，

1

2

)，代入方程即可得到m．
（2）由直線y=-

3

3

x+1，f分別令y=0，x=0，即可得到點A，B的坐標，利用中垂線的性質可得線段AB的中垂線方程，與PC的直線方程聯立，即可解得點C的坐標．

解答：解：（1）由已知可得直線CP∥AB，設CP的方程為y=-

3

3

x+c，(c＞1)
則

c-1

1+ 1 3

=AB×

3

2

=

3

，c=3，
∴直線CP的方程為：y=-

3

3

x+3，
∵此直線經過過P(m，

1

2

)，
得

1

2

=-

3

3

m+3，m=

5 3

2

（2）由直線y=-

3

3

x+1，令y=0，解得x=

3

；令x=0，解得y=1．
∴A(

3

，0)，B(0，1)，
∴線段AB的中點為(

3

2

，

1

2

)，kAB=

0-1

3

=-

3

3

．線段AB的中垂線的斜率為k=

3

．
線段AB的中垂線為y=

3

x-1，與PC的直線方程聯立

y=- 3 3 x+3 y= 3 x-1

，解得

y=2 x= 3

．
∴C(

3

，2)．

點評：本題綜合考查了平行線間的距離、等邊三角形的性質、平行線的方程、中垂線的性質等基礎知識與基本方法，屬于中中檔題．