Question

在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），B點(diǎn)與A點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為C點(diǎn)，而點(diǎn)D滿足，且有，
（1）求點(diǎn)D的軌跡方程；
（2）求△ABD面積的最大值；
（3）斜率為k的直線l被（1）中軌跡所截弦的中點(diǎn)為M，若∠AMB為直角，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)，求得P（x'，y'）滿足的方程：（x'）²+（y'）²=4…（*）．再由，可得x'=2x-1，y'=2y，代入（*）式得（2x-1）²+（2y）²=4，化簡(jiǎn)即得點(diǎn)D的軌跡方程．
（2）根據(jù)D點(diǎn)滿足的方程，設(shè)D（+cosα，sinα），用點(diǎn)到直線的距離公式求得D到AB距離的最大值為1+，由此即可得到△ABD面積的最大值；
（3）∠AMB為直角，則點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上，從而得到滿足條件的M在位于圓N：（x-）²+y²=1在x²+y²=2內(nèi)的劣弧上，求出界點(diǎn)處的切線斜率，再觀察直線l的斜率的變化，可得斜率k的取值范圍．
解答：解：（1）設(shè)P（x'，y'），得=（1-x'，1-y'），=（-1-x'，-1-y'），
所以=（1-x'）（-1-x'）+（1-y'）（-1-y'）=（x'）²+（y'）²-2
∵，
∴點(diǎn)P的軌跡方程為（x'）²+（y'）²-2=2，即（x'）²+（y'）²=4…（*）
再設(shè)D（x'，y'），由得D為PC的中點(diǎn)
∴x=，y'=．
可得x'=2x-1，y'=2y．代入（*）式得（2x-1）²+（2y）²=4
化簡(jiǎn)得點(diǎn)D的軌跡方程：（x-）²+y²=1
（2）設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（+cosα，sinα），
求得直線AB的方程為x-y=0，得D到直線AB的距離為
d==
當(dāng)時(shí)，d的最大值為1+，
因此△ABD面積的最大值為×AB×（1+）=1+；
（3）若∠AMB為直角，則點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上
求得以AB為直徑的圓方程為x²+y²=2，該圓與D的軌跡交于點(diǎn)M₁（，）和M₂（，-）
滿足條件的點(diǎn)M位于圓N：（x-）²+y²=1在x²+y²=2內(nèi)的劣弧上
∵==，得此時(shí)切線l的斜率k₁==-
==-，得此時(shí)切線l的斜率k₂==
∴運(yùn)動(dòng)點(diǎn)M，觀察斜率變化，可得直線l的斜率為k∈（-∞，-）∪（，+∞）
點(diǎn)評(píng)：本題以向量運(yùn)算為載體，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程并求動(dòng)直線斜率k的取值范圍，著重考查了向量的數(shù)量積、直線與圓的位置關(guān)系和動(dòng)點(diǎn)軌跡方程求法等知識(shí)，屬于難題．