Question

【題目】數列中，，.

（1）求證：存在的一次函數，使得成公比為2的等比數列；

（2）求的通項公式；

（3）令，求證：.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）根據題意，設滿足條件，由于成公比為2的等比數列，根據等比數列的定義，得出，利用待定系數法求出和，即可得出結論；

（2）由（1）知是首項為，公比為2的等比數列，由等比數列的通項公式得出，即可求出的通項公式；

（3）先求出，要證，即證，根據放縮法得出，當時，，再利用裂項相消法求和，即可證明不等式.

解：（1）證明：設滿足條件，

由于成公比為2的等比數列，

則，

即，

由，得，

解得：，，，

存在，使成公比為2的等比數列.

（2）由（1）知是首項為，公比為2的等比數列，

則，.

（3）證明：，即，

要證，即證，

當時，，

，

即，

所以，

即.