Question

拋物線的方程為，過拋物線上一點()作斜率為的兩條直線分別交拋物線于兩點(三點互不相同)，且滿足（且）．

（1）求拋物線的焦點坐標和準線方程；

（2）設直線上一點，滿足，證明線段的中點在軸上；

（3）當=1時，若點的坐標為，求為鈍角時點的縱坐標的取值范圍.

 

Answer 1

（1）焦點坐標為，準線方程為；（2）證明詳見解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）數形結合，依據拋物線的標準方程寫出焦點坐標和準線方程；（2）設直線的方程為，直線的方程為，分別聯立直線與拋物線的方程消去得到關于的一元二次方程，利用一元二次方程根與系數的關系，得到、，再由求出點的橫坐標，即可證明；（3）為鈍角時，必有，用表示，通過的范圍求的范圍即可.

試題解析：（1）由拋物線的方程（）得，焦點坐標為，準線方程為

（2）證明：設直線的方程為，直線的方程為

點和點的坐標是方程組

的解將②式代入①式得，于是，故　③

又點和點的坐標是方程組

的解將⑤式代入④式得于是，故

由已知得，，則　�、�

設點的坐標為，由，則

將③式和⑥式代入上式得，即所以線段的中點在軸上

（3）因為點在拋物線上，所以，拋物線方程為

由③式知，代入得

將代入⑥式得，代入得

因此，直線分別與拋物線的交點的坐標為

，于是，

因為鈍角且三點互不相同，故必有

求得的取值范圍是或又點的縱坐標滿足，故

當時，；當時，即.

考點：1.拋物線的標準方程及性質；2.二次方程根與系數的關系；3.直線與圓錐曲線的綜合問題.