Question

【題目】設二次函數f(x)滿足f(2＋x)＝f(2－x)，對于x∈R恒成立，且f(x)＝0的兩個實數根的平方和為10，f(x)的圖象過點(0,3)，求f(x)的解析式．

Answer 1

【答案】.

【解析】試題分析: 二次函數f(x)滿足f(2＋x)＝f(2－x)可知, 圖象關于直線x＝2對稱, 設f(x)＝a(x－2)2＋k(a≠0)，圖象過點(0,3),可得k＝3－4a，再用f(x)＝0的兩個實數根的平方和為10，寫出韋達定理代入求出a值,進而得出f(x)的解析式．

試題解析:

∵f(2＋x)＝f(2－x)，∴f(x)的圖象關于直線x＝2對稱．于是，設f(x)＝a(x－2)2＋k(a≠0)， 則由f(0)＝3，可得k＝3－4a，∴f(x)＝a(x－2)2＋3－4a＝ax2－4ax＋3.∵ax2－4ax＋3＝0的兩實數根的平方和為10，∴10＝x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16－，∴a＝1，∴.