Question

【題目】已知函數.

（1）若曲線在點處的切線與直線平行，求的值；

（2）在（1）條件下，求函數的單調區間和極值；

（3）當，且時，證明：.

Answer 1

【答案】（1）0；（2）的單調遞增區間是，單調遞減區間是，極大值為；（3）證明見解析.

【解析】

（1）求導得到，代入計算得到答案.

（2）求導得到，的變化情況表，得到單調區間和極值.

（3）證明等價于，設，求導得到函數單調遞增，計算最小值得到證明.

（1）函數的定義域為，所以.

又曲線在點處的切線與直線平行，

所以，即.

（2）令，得，當變化時，，的變化情況如下表：

	+	0	-
		極大值

由表可知：的單調遞增區間是，單調遞減區間是，

所以在處取得極大值，的極大值為.

（3）當時，.由于，要證，

只需證明，令，則.

因為，所以，故在上單調遞增，

當時，，即成立．

故當時，有，即.