Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓的離心率為，過橢圓右焦點作兩條互相垂直的弦與．當直線斜率為0時，．

（1）求橢圓的方程；
（2）求的取值范圍．

Answer 1

（1），（2）．

解析試題分析：（1）求橢圓標準方程，只需兩個獨立條件. 一個是,另一個是點在橢圓上即，所以．所以橢圓的方程為．（2）研究直線與橢圓位置關系，關鍵確定參數，一般取直線的斜率，① 當兩條弦中一條斜率為0時，另一條弦的斜率不存在，由題意知，② 當兩弦斜率均存在且不為0時，設直線的方程為，將直線的方程代入橢圓方程中，并整理得，所以．同理，．所以，利用不等式或函數單調性可得的取值范圍是綜合①與②可知，的取值范圍是．
【解】（1）由題意知，，，
所以．              2分
因為點在橢圓上，即，
所以．
所以橢圓的方程為．                                6分
（2）① 當兩條弦中一條斜率為0時，另一條弦的斜率不存在，
由題意知；                                       7分
② 當兩弦斜率均存在且不為0時，設，，
且設直線的方程為，
則直線的方程為．
將直線的方程代入橢圓方程中，并整理得，
所以，，
所以．                         10分
同理，．
所以，           12分
令，則，，，
設，
因為，所以，
所以，
所以．
綜合①與②可知，的取值范圍是．               16分
考點：橢圓的方程及橢圓與直線的位置關系．