Question

【題目】已知函數f（x）=ax﹣lnx﹣a（a∈R）．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）若a∈（0，+∞），x∈（1，+∞），證明：f（x）＜axlnx．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=a﹣ = ，

當a≤0時，ax﹣1＜0，從而f'（x）＜0，函數f（x）在（0，+∞）單調遞減；

當a＞0時，若0＜x＜ ，則ax﹣1＜0，從而f'（x）＜0，

若x＞ ，則ax﹣1＞0，從而f'（x）＞0，

函數在（0， ）單調遞減，在（ ，+∞）單調遞增

（2）解：令g（x）=f（x）﹣axlnx，a∈（0，+∞），x∈（1，+∞），

則g′（x）=﹣ ﹣alnx，g″（x）= ，

令g″（x）=0，解得：x= ，

① ≤1即a≥1時，g″（x）＜0，g′（x）在（1，+∞）遞減，

g′（x）＜g′（1）=﹣1＜0，故g（x）在（1，+∞）遞減，

g（x）＜g（1）=0，成立；

② ＞1即0＜a＜1時，

令g″（x）＞0，解得：1＜x＜ ，

令g″（x）＜0，解得：x＞ ，

故g′（x）在（1， ）遞增，在（ ，+∞）遞減，

∴g′（x）＜g′（ ）=2lna﹣a+1，

令h（a）=2lna﹣a+1，（0＜a＜1），

則h′（a）= ＞0，h（a）在（0，1）遞增，

故h（a）＜h（1）=0，

故g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）遞減，

g（x）＜g（1）=0，成立；

綜上，a∈（0，+∞），x∈（1，+∞），f（x）＜axlnx

【解析】（1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；（2）令g（x）=f（x）﹣axlnx，a∈（0，+∞），x∈（1，+∞），求出函數的導數，通過討論a的范圍，結合函數的單調性證明即可．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．