Question

【題目】如圖，在三棱錐C﹣OAB中，CO⊥平面AOB，OA=OB=2OC=2，AB=2 ，D為AB的中點．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面COD；
（Ⅱ）若動點E滿足CE∥平面AOB，問：當AE=BE時，平面ACE與平面AOB所成的銳二面角是否為定值？若是，求出該銳二面角的余弦值；若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）在三棱錐C﹣OAB中，CO⊥平面AOB，

∴CO⊥AB．

又OA=OB，D為AB的中點，

∴DO⊥AB

∵DO∩CO=O，

∴AB⊥平面COD．

（Ⅱ）∵OA=OB=2，AB=2 ，

∴AO⊥BO．

由CO⊥平面AOB，故以點O為原點，OA所在的直線為x軸，OB所在的直線為y軸，OC所在的直線為z軸建立空間直角坐標系（如圖），

由已知可得O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，1），D（1，1，0）．

由CE∥平面AOB，故設E（x，y，1）．

由AE=BE，得 ，

故x=y，即E（x，y，1），（x≠0）．

設平面ACE的法向量為 ，由 ， =（x，y，0），

得 ，令a=1，得 =（1，﹣1，2）．

又平面AOB的法向量為

∴cos＜ ＞= = ．

故平面ACE與平面AOB所成的銳二面角為定值，且該銳二面角的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）由已知條件推導出CO⊥AB，DO⊥AB．由此能證明AB⊥平面COD．（Ⅱ）以點O為原點，OA所在的直線為x軸，OB所在的直線為y軸，OC所在的直線為z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面ACE與平面AOB所成的銳二面角的余弦值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關知識，掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．