Question

在三棱錐P-ABC中，△PAC和△PBC是邊長為的等邊三角形，AB=2，O，D分別是AB，PB的中點．
（1）求證：OD∥平面PAC；
（2）求證：PO⊥平面ABC．

Answer 1

【答案】分析：（1）由O，D分別為AB，PB的中點，知OD∥PA，由此能夠證明OD∥平面PAC．
（2）連接OC，OP，由，O為AB的中點，AB=2，知OC⊥AB，OC=1．同理，PO⊥AB，PO=1，由此能夠證明PO⊥平面PAC．
解答：證明：（1）∵O，D分別為AB，PB的中點，
∴OD∥PA…（3分）
又OD?平面PAC，PA?平面PAC…（5分）
∴OD∥平面PAC．…（6分）
（2）連接OC，OP
∵，O為AB的中點，AB=2，
∴OC⊥AB，OC=1．…（8分）
同理，PO⊥AB，PO=1．…（10分）
又，PC²=OD²+PO²=2，
∴∠POC=90°，PO⊥OC．…（12分）
∵OC∩AB=O，…（13分）
∴PO⊥平面PAC．…（14分）
點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面垂直的證明．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．