Question

已知直線x+y=a與圓x²+y²=4交于A，B兩點，且OA⊥OB（其中O為坐標原點），則實數a等于

 

．

Answer 1

考點：直線與圓相交的性質

專題：計算題,直線與圓

分析：利用OA⊥OB，OA=OB，可得出三角形AOB為等腰直角三角形，由圓的標準方程得到圓心坐標與半徑R，可得出AB，求出AB的長，圓心到直線y=x+a的距離為AB的一半，利用點到直線的距離公式列出關于a的方程，求出方程的解即可得到實數a的值．

解答： 解：∵OA⊥OB，OA=OB，
∴△AOB為等腰直角三角形，
又圓心坐標為（0，0），半徑R=2，
∴AB=

2

R=2

2

，
∴圓心到直線y=x+a的距離d=

1

2

AB=

|a|

2

=

2

，
∴|a|=2，
∴a=±2．
故答案為：±2．

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，涉及的知識有：等腰直角三角形的判定與性質，以及點到直線的距離公式，其中根據題意得出△AOB為等腰直角三角形是解本題的關鍵．