Question

【題目】已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足cos2B﹣cos2C﹣sin2A=sinAsimB．
（1）求角C；
（2）向量 =（sinA，cosB）， =（cosx，sinx），若函數f（x）= 的圖象關于直線x= 對稱，求角A，B．

Answer 1

【答案】
（1）解：△ABC中，cos2B﹣cos2C﹣sin2A=sinAsinB，

∴（1﹣sin2B）﹣（1﹣sin2C）﹣sin2A=sinAsinB，

∴sin2C﹣sin2B﹣sin2A=sinAsinB，

∴c2﹣b2﹣a2=ab，

∴cosC= = =﹣ ，

又C∈（0，π），

∴C= ；

（2）解：向量 =（sinA，cosB）， =（cosx，sinx），

∴函數f（x）= =sinAcosx+cosBsinx；

又f（x）的圖象關于直線x= 對稱，

∴f（ +x）=f（ ﹣x），

∴sinAcos（ +x）+cosBsin（ +x）=sinAcos（ ﹣x）+cosBsin（ ﹣x），

∴sinA[cos（ +x）﹣cos（ ﹣x）]+cosB[sin（ +x）﹣sin（ ﹣x）]=0，

∴﹣2sinAsin sinx+2cosBcos sinx=0，

∴2sinx（﹣sinAsin +cosBcos ）=0；

又sinx≠0，∴sinAsin ﹣cosBcos =0，

又B= ﹣A，∴sinAsin ﹣cos（ ﹣A）cos =0，

∴ sinA﹣ cosA=0，

∴ sin（A﹣ ）=0，

∴sin（A﹣ ）=0；

又A∈（0， ），

∴A﹣ ∈（﹣ ， ），

∴A﹣ =0，

∴A= ；

∴B= ﹣A= ．

【解析】（1）根據三角恒等變換和正弦、余弦定理化簡等式，求出cosC的值，即得C的值；（2）由平面向量的數量積求出函數f（x），根據f（x）的圖象關于直線x= 對稱，得出f（ +x）=f（ ﹣x），利用三角恒等變換得出sinx（﹣sinAsin +cosBcos ）=0；再由sinx≠0，A+B= ，求出A、B的值．
【考點精析】本題主要考查了正弦定理的定義和余弦定理的定義的相關知識點，需要掌握正弦定理:；余弦定理:;;才能正確解答此題．