Question

【題目】已知二次函數的導函數的圖像與直線平行，且在處取得極小值．設．

（1）若曲線上的點到點的距離的最小值為，求的值；

（2）如何取值時，函數存在零點，并求出零點．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當k=1時，有一個零點；當

時，有一個零點 ;當或時，函數有兩個零點.

【解析】試題分析：（1）先根據二次函數的頂點式設出函數的解析式，然后對其進行求導，根據的導函數的圖象與直線平行求出的值，進而可確定函數的解析式，然后設出點的坐標，根據兩點間的距離公式表示出，再由基本不等式表示其最小值，解方程即可得結果；（2）先根據（1）的內容得到函數的解析式，即，然后先對二次項的系數等于0進行討論，再當二次項的系數不等于0即為二次方程時，根據方程的判別式進行討論即可得到答案.

試題解析：（1）依題可設，則，又的圖象與直線平行，，，，設，則當且僅當時，取得最小值，即取得最小值，當時，，解得，當時，，解得.

（2）由，得，當時，方程有一解，函數有一零點，；當時，方程有二解，若，函數有兩個零點，，即，若，

函數有兩零點，，即

當時，方程有一解，函數有一零點，，綜上，當時，函數有一零點，；當或時，函數有兩個零點，，當時，函數有一個零點.