Question

f(x)=

ax2+1 -bx x≥0 cex x＜0

其中a＞0
（1）若f（x）在R上連續(xù)，求c
（2）若要使

lim

x→+∞

f(x)=0，則a與b應滿足哪些條件？
（3）若對于任意的a∈[2，3]，f（x）是[0，+∞）的單調減函數(shù)，求b的范圍．

Answer 1

分析：（1）：由f（x）在R上連續(xù)，可得

lim

x→0+

f(x)=

lim

x→0-

f(x)=1，從而可求c
（2）b＜0，顯然不成立，則b＞0，對所求的式子

ax2+1

-bx進行分子有理化，進而可求得極限為0時a，b的關系
（3）由對于任意的a∈[2，3]，f（x）是[0，+∞）的單調減函數(shù)可得f′（x）≤0在x∈[0，+∞），a∈[2，3]時恒成立，分離可得b≥

ax

ax2+1

在x∈[0，+∞），a∈[2，3]時恒成立，通過求解

ax

ax2+1

的最大值可求b的范圍

解答：解：（1）：因為f（x）在R上連續(xù)，所以

lim

x→0+

f(x)=

lim

x→0-

f(x)=1
∴c=1
（2）若b＜0，則顯然不成立
∵

lim

x→+∞

f(x)=

lim

x→+∞

ax2+1

-bx=

lim

x→+∞

ax2+1-b2x2

ax2+1 +bx

=

lim

x→+∞

(a-b2) + 1 x2

a x2 + 1 x4 + b x

故當且僅當b＞0，且a=b²時

lim

x→+∞

f(x)=0
（3）∵對于任意的a∈[2，3]，f（x）是[0，+∞）的單調減函數(shù)
即f′（x）≤0在x∈[0，+∞），a∈[2，3]時恒成立
∴(

ax2+1

)′-b≤0
∴b≥

ax

ax2+1

在x∈[0，+∞），a∈[2，3]時恒成立
因為

ax

ax2+1

=

a

a+ 1 x2

＜

a

a

=

a

≤

3

∴b≥

3

點評：本題主要考查了函數(shù)的連續(xù)的定義的應用，∞-∞型的極限的求解，一般的 處理方法是進行分子有理化，及函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)的單調性的關系，屬于函數(shù)知識的綜合應用