Question

拋物線x²=8y的準線與坐標軸交于A點，過A作直線與拋物線交于M、N兩點，點B在拋物線的對稱軸上，P為MN中點，且（）•=0．
（1）求||的取值范圍；
（2）是否存在這樣的點B，使得△BMN為等腰直角三角形，且∠B=90°．若存在，求出點B；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意求出點A的坐標，根據（）•=0得到PB垂直平分線段MN，由點斜式寫出MN所在直線方程，和拋物線聯立后利用根與系數關系得到MN的中點P的坐標，再由BP和MN垂直得到BP所在直線方程，取x=0得到B在y軸上的截距，由此得到||的取值范圍；
（2）若存在點B，使得△BMN為等腰直角三角形，且∠B=90°，則有（1）可知，由兩點間的距離公式及弦長公式分別求出等式兩邊的長度（用含有k的代數式表示），兩邊平方后即可求解k的值，則答案可求．
解答：解：（1）拋物線為x²=8y，準線為y=-2，
∴A（0，-2）．
MN的中點為P，∵（）•=0，
∴，∴PB垂直平分線段MN，
設MN為：y=kx-2，與x²=8y聯立，得
x²-8kx+16=0．
x_M+x_N=8k，x_Mx_N=16．
由△＞0⇒64k²-4×16＞0⇒k²＞1．
又點P坐標為：，．
∴直線PB方程為：．
令x=0，得y=2+4k²＞6，∴||的取值范圍是（6，+∞）；
（2）存在點B（0，10）為所求．
事實上，若存在點B，使得△BMN為等腰直角三角形，且∠B=90°．
因為由（1）知PB垂直平分線段MN，
所以，
由B（0，2+4k²），P（4k，4k²-2），
∴|BP|=．

=．
∴．
解得，k²=2，
∴點B（0，10）為所求．
點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了平面向量的數量積運算及利用數量積判斷兩向量的垂直關系，考查了數學轉化思想方法，解答的關鍵是能有題意得到相應的等式，訓練了弦長公式的應用，考查了學生的計算能力，是有一定難度題目．