Question

設A，F分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左頂點與右焦點，若在其右準線上存在點P，使得線段PA的垂直平分線恰好經過點F，則橢圓的離心率的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由題意，橢圓上右準線上存在點P，使得線段AP的垂直平分線過點F，即F點到P點與A點的距離相等，根據|PF|的范圍求得|FA|的范圍，進而求得

c

a

的范圍即離心率e的范圍．

解答：解：由題意，橢圓上右準線上存在點P，使得線段AP的垂直平分線過點F，即F點到P點與A點的距離相等
而|FA|=a+c，如圖，
又|FH|=

a2

c

-c
|PF|≥|FH|，
于是a+c≥

a2

c

-c即ac+2c^2≥a²，
∴2e²+e-1≥0，e≥

1

2

，又e∈（0，1）
故e∈[

1

2

，1）
故答案為：[

1

2

，1）．

點評：本題考查線段的中點公式，兩直線垂直的性質，以及橢圓的簡單性質的應用．屬于基礎題．