Question

設b＞0，橢圓方程為

x2

2b2

+

y2

b2

=1，拋物線方程為x²=8（y-b）．如圖所示，過點F（0，b+2）作x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為G，已知拋物線在點G的切線經過橢圓的右焦點F₁．
（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；
（2）設A，B分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點P，使得△ABP為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標）．

Answer 1

分析：（1）先求出G點的坐標，利用導數求出過點G的切線斜率，得到過點G的切線方程，根據由切線方程求得的F₁點的坐標，與用橢圓方程得F₁點的坐標應該相同，求出b，橢圓和拋物線的方程可得．
（2）以∠PAB為直角的Rt△ABP只有一個，以∠PBA為直角的Rt△ABP只有一個，以AB為直徑的圓與拋物線有兩個交點，根據直徑對的圓周角等于直角，以∠APB為直角的Rt△ABP有兩個．所以，共得到4個直角三角形．

解答：解：（1）由x²=8（y-b）得y=

1

8

x2+b，
當y=b+2得x=±4，∴G點的坐標為（4，b+2），y′=

1

4

x，y'|_x=4=1，
過點G的切線方程為y-（b+2）=x-4即y=x+b-2，
令y=0得x=2-b，∴F₁點的坐標為（2-b，0），由橢圓方程得F₁點的坐標為（b，0），
∴2-b=b即b=1，即橢圓和拋物線的方程分別為

x2

2

+y2=1和x²=8（y-1）；（7分）
（2）∵過A作x軸的垂線與拋物線只有一個交點P，∴以∠PAB為直角的Rt△ABP只有一個，
同理∴以∠PBA為直角的Rt△ABP只有一個；
若以∠APB為直角，則點P在以AB為直徑的圓上，而以AB為直徑的圓與拋物線有兩個交點．
所以，以∠APB為直角的Rt△ABP有兩個；
因此拋物線上存在四個點使得△ABP為直角三角形．（15分）

點評：本題考查利用導數求切線的斜率，待定系數法求橢圓和拋物線的方程，體現了分類討論的數學思想．