Question

【題目】設定義域為R的函數．

（1）在平面直角坐標系中作出函數f（x）的圖象，并指出f（x）的單調區間（不需證明）；

（2）若方程f（x）+5a＝0有兩個解，求出a的取值范圍（不需嚴格證明，簡單說明即可）；

（3）設定義域為R的函數g（x）為偶函數，且當x≥0時，g（x）＝f（x），求g（x）的解析式．

Answer 1

【答案】（1）函數f（x）的增區間為（﹣1，0），（1，+∞）；減區間為（﹣∞，﹣1），（0，1）,圖象見解析

（2）

（3）

【解析】

（1）作出函數f（x）的圖象，由圖象即可觀察得出；

（2）方程f（x）+5a＝0有兩個解，等價于函數f（x）的圖象與直線有兩個交點，由圖即可求出；

（3）先求出x≥0時，g（x）的解析式，再根據偶函數的性質，求出x＜0時，g（x）

的解析式，即可求出定義在上的g（x）的解析式．

（1）作出函數f（x）的圖象，如圖所示：

函數f（x）的增區間為（﹣1，0），（1，+∞），減區間為（﹣∞，﹣1），（0，1）．

（2）要使方程f（x）+5a＝0有兩個解，等價于函數f（x）的圖象與直線有兩個交點，由圖可知，﹣5a≥1，解得．故實數a的取值范圍為；

（3）由題意，當x＝0時，g（x）＝0，當x＞0時，g（x）＝x2﹣2x+1，

設x＜0，則﹣x＞0，故g（﹣x）＝（﹣x）2﹣2（﹣x）+1＝x2+2x+1，

又函數g（x）為偶函數，故g（x）＝g（﹣x）＝x2+2x+1（x＜0），

綜上，函數g（x）的解析式為．