Question

選修4-2　矩陣與變換
已知矩陣M=

a 1 c 0

的一個特征根為-1，屬于它的一個特征向量

1 -3

．
（1）求矩陣M；
（2）求曲線x²+y²=1經過矩陣M所對應的變換得到曲線C，求曲線C的方程．

Answer 1

考點：特征值與特征向量的計算,變換、矩陣的相等

專題：選作題,矩陣和變換

分析：（1）根據二階矩陣與平面列向量的乘法，即可確定矩陣M；
（2）設曲線C上任意一點P（x₀，y₀），根據矩陣變換的公式求出對應的點P′（x，y），解出由x、y表示x₀，y₀的式子，將點P的坐標代入曲線C方程，化簡即得曲線C'的方程．

解答： 解：（1）由題意，

a 1 c 0

1 -3

=-

1 -3

，
∴

a-3=-1 c=3

，
∴a=2，c=3，
∴M=

2 1 3 0

；
（2）設P（x₀，y₀）是曲線C：x²+y²=1上任意一點，
則點P（x₀，y₀）在矩陣M對應的變換下變為點P′（x，y）
則有

x y

=

2 1 3 0

x0 y0

，即

x0= 1 2 x- 1 6 y y0= 1 3 y

又∵點P在曲線C：x²+y²=1上，
∴9x²-6xy+5y²=36，即曲線C'的方程為橢圓9x²-6xy+5y²=36．

點評：本題主要考查矩陣乘法與變換，考查了曲線方程的求法等基本知識，考查運算求解能力，