Question

在平面直角坐標系中，設△ABC的頂點分別為A（0，2），B（-1，0），C（2，0），圓M是△ABC的外接圓，直線l的方程是（2+m）x+（2m-1）y-3m-1=0（m∈R）
（1）求圓M的方程；
（2）證明：直線l與圓M相交；
（3）若直線l被圓M截得的弦長為3，求l的方程．

Answer 1

分析：（1）求出邊AC、BC的垂直平分線方程，根據圓心M在這2條邊的垂直平分線上，可得M（

1

2

，

1

2

），再求出半徑MC的值，即可得到圓的標準方程．
（2）根據直線l經過定點N，而點N在圓的內部，即可得到直線和圓相交．
（3）由于直線截圓所得的弦長等于直徑，可得直線過圓心，把圓心的坐標代入直線方程，求得m的值，即可得到直線的方程．

解答：解：（1）∵△ABC的頂點分別為A（0，2），B（-1，0），C（2，0），故線段BC的垂直平分線方程為x=

1

2

，
線段AC的垂直平分線為 y=x，再由圓心M在這2條邊的垂直平分線上，可得M（

1

2

，

1

2

），
故圓的半徑為|MC|=

(2- 1 2 )2+(0- 1 2 )2

=

3

2

，故圓的方程為 (x-

1

2

)2+(y-

1

2

)2=

9

4

．
（2）根據直線l的方程是（2+m）x+（2m-1）y-3m-1=0（m∈R），即m（x+2y-3）+2x-y-1=0，
由

x+2y-3=0 2x-y-1=0

 可得

x=1 y=1

，故直線經過定點N（1，1）．
由于MN=

1 4 + 1 4

=

2

2

＜r=

3

2

，故點N在圓的內部，故圓和直線相交．
（3）∵直線l被圓M截得的弦長為3，等于直徑，故直線l經過圓心M，把點M的坐標代入直線l，
可得 （2+m）×

1

2

+（2m-1）

1

2

-3m-1=0，解得 m=-

1

3

，
故直線l的方程為

5

3

x-

5

3

y=0，即 x-y=0．

點評：本題主要考查求圓的標準方程，直線過定點問題，直線和圓的位置關系，屬于中檔題．