Question

已知函數f（x）和g（x）的圖象關于原點對稱，且f（x）=x²+2x．
（Ⅰ） 求函數g（x）的解析式；
（Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）-|x-1|；
（Ⅲ）若h（x）=g（x）-λf（x）+1在[-1，1]上是增函數，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設函數y=f（x）的圖象上任意一點Q（x₀，y₀）關于原點的對稱點為P（x，y），求出P，Q坐標關系，然后把Q坐標代入y=f（x）解析式即可；
（Ⅱ）把不等式表示出來，分x≥1及x＜1兩種情況可解；
（Ⅲ）寫出h（x）的解析式，由題意可知[-1，1]為函數h（x）的增區間的子集，分情況討論可求λ的范圍．

解答：解：（Ⅰ）設函數y=f（x）的圖象上任意一點Q（x₀，y₀）關于原點的對稱點為P（x，y），
則

x0+x 2 =0 y0+y 2 =0

即

x0=-x y0=-y.

∵點Q（x₀，y₀）在函數y=f（x）的圖象上
∴-y=x²-2x，即y=-x²+2x，
故g（x）=-x²+2x．
（Ⅱ）由g（x）≥f（x）-|x-1|，可得2x²-|x-1|≤0，
當x≥1時，2x²-x+1≤0，此時不等式無解；
當x＜1時，2x²+x-1≤0，解得-1≤x≤

1

2

；
因此，原不等式的解集為[-1，

1

2

]．
（Ⅲ）h（x）=-（1+λ）x²+2（1-λ）x+1
①當λ=-1時，h（x）=4x+1在[-1，1]上是增函數，∴λ=-1
②當λ≠-1時，對稱軸的方程為x=

1-λ

1+λ

．
（ⅰ）當λ＜-1時，

1-λ

1+λ

≤-1，解得λ＜-1．
（ⅱ）當λ＞-1時，

1-λ

1+λ

≥1，解得-1＜λ≤0．
綜上，λ≤0．

點評：本題考查函數的單調性及含絕對值的不等式的求解，注意體會分類歸納思想在本題中的運用．