Question

已知函數f（x）和g（x）的圖象關于原點對稱，且g（x）=-x²+2x．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）解不等式f（x）≤g（x）+|x-1|；
（3）若函數h（x）=f（x）+λ•g（x）+1在區間[-1，1]上是增函數，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設P（x，y）是函數f（x）圖象上任一點，則P關于原點對稱的點Q（-x，-y）在函數g（x）的圖象上，由此求得函數f（x）的解析式．
（2）由條件可得 2x²-|x-1|≤0． 分當x≥1時，當x＜1時兩種情況，分別利用二次函數的性質求得不等式f（x）≤g（x）+|x-1|的解集．
（3）根據h（x）=（1-λ）x²+2（1+λ）x+1．①當λ=1時，檢驗符合題意．②當λ≠1時，函數h（x）圖象的對稱軸是直線x=

λ+1

λ-1

，再分當λ＜1時和當λ＞1時兩種情況，分別依據條件求得λ的范圍，從而得出結論．

解答：解：（1）設P（x，y）是函數f（x）圖象上任一點，則P關于原點對稱的點Q（-x，-y）在函數g（x）的圖象上，
所以-y=-（-x）²+2（-x），故y=x²+2x，
所以，函數f（x）的解析式是f（x）=x²+2x．
（2）由f（x）≤g（x）+|x-1|，得x²+2x≤-x²+2x+|x-1|，即2x²-|x-1|≤0．  
當x≥1時，有2x²-x+1≤0，△=1-8=-7＜0，不等式無解．
當x＜1時，有2x²+x-1≤0，（2x-1）（x+1）≤0，解得-1≤x≤

1

2

，
綜上，不等式f（x）≤g（x）+|x-1|的解集為[-1 ， 

1

2

]．  
（3）h（x）=x²+2x+λ（-x²+2x）+1=（1-λ）x²+2（1+λ）x+1．
①當λ=1時，h（x）=4x+1在區間[-1，1]上是增函數，符合題意．
②當λ≠1時，函數h（x）圖象的對稱軸是直線x=

λ+1

λ-1

． 
因為h（x）在區間[-1，1]上是增函數，
所以，1）當λ＜1時，1-λ＞0，函數h（x）圖象開口向上，
故

λ+1

λ-1

≤-1，解得0≤λ＜1．
2）當λ＞1時，1-λ＜0，函數h（x）圖象開口向下，
故

λ+1

λ-1

≥1，解得λ＞1．
綜上，λ的取值范圍是[0，+∞）．

點評：本題主要考查利用函數圖象的對稱性求函數的解析式，絕對值不等式的解法，二次函數的性質應用，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．