Question

如圖，Rt△ABC的頂點坐標A（-3，0），直角頂點B（-1，-2

2

），頂點C在x軸上．
（1）求BC邊所在直線方程；
（2）M為Rt△ABC外接圓的圓心，求圓M的方程；
（3）直線l與圓相切于第一象限，求切線與兩坐標軸所圍成的三角形面積最小時的切線方程．

Answer 1

分析：（1）由頂點B，C的坐標可求BC的斜率，再根據點C（3，0）可求BC邊所在直線方程；
（2）Rt△ABC外接圓是以O為原點，3為半徑的圓，從而可求圓M的方程；
（3）設直線方程為

x

a

+

y

b

=1(a＞0，b＞0)，利用直線l與圓相切可知

ab

a2+b2

=3，從而利用均值不等式有ab≥18，因此可求直線方程．

解答：解：（1）kBC=

1

2

，∵C（3，0），∴BC：x-

2

y-3=0．
（2）由（1）知C（3，0），∵M為Rt△ABC外接圓的圓心，所以M坐標為（0，0），所以圓M：x²+y²=9．
（3）設直線方程為

x

a

+

y

b

=1(a＞0，b＞0)，即bx+ay-ab=0，S△=

1

2

ab．
由相切可知

ab

a2+b2

=3．由均值不等式3=

ab

a2+b2

≤

ab

2ab

=

ab

2

，則ab≥18．
所以S△=

1

2

ab≥9，當且僅當a=b=3

2

時等號成立，則直線方程為x+y-3

2

=0．

點評：本題主要考查直線與圓的方程的求解，考查基本不等式的運用，屬于基礎題