Question

如圖，Rt△ABC的兩條直角邊長分別為a和b（a＞b），A與B兩點分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上滑動，求直角頂點C的軌跡方程．

Answer 1

思路分析：由已知∠ACB是直角，A和B兩點在坐標軸上滑動時，∠AOB也是直角，由平面幾何知識，A、C、B、O四點共圓，則有∠ABC=∠AOC，這就是點C滿足的幾何條件．

由此列出頂點C的坐標適合的方程．

解：設點C的坐標為（x,y），連結CO，

由∠ACB=∠AOB=90°，所以A、O、B、C四點共圓．

從而∠AOC=∠ABC．由tan∠ABC=，tan∠AOC=，有即y=x,

(注意到方程表示的是過原點、斜率為的一條直線，而題目中的A與B均在兩坐標軸的正半軸上滑動，由于a、b為常數，故C點的軌跡不會是一條直線，而是直線的一部分．我們可考察A與B兩點在坐標軸上的極端位置，確定C點坐標的范圍)

如圖，當點A與原點重合時，

S_△ABC=·x=·x，所以x=．

如圖，當點B與原點重合時，C點的橫坐標x=BD．

由射影定理，BC²=BD·AB,，即

a²=x·,

有x=．由已知a＞b，所以．

故C點的軌跡方程為y=(）．