Question

已知圓，直線，。
（1）證明：不論取什么實數，直線與圓恒交于兩點；
（2）求直線被圓截得的弦長最小時的方程．

Answer 1

(1)見解析；(2)2x-y-5=0

試題分析：（1）直線與圓恒有交點，說明直線恒過的定點在圓內，所以關鍵是找到直線恒過的定點，要把直線改寫成的形式，然后令m的系數為零即可.（2）圓的弦長最小值的計算，常用兩種方法：第一、通過弦長的計算再求最小值；第二、通過計算最長的弦心距來研究最短的弦.
試題解析：（1）證法1：的方程，
即恒過定點
圓心坐標為，半徑，，
∴點在圓內，從而直線恒與圓相交于兩點。
證法2：圓心到直線的距離，
，所以直線恒與圓相交于兩點。
（2）弦長最小時，，，，

代入，
得的方程為。