Question

【題目】如圖，在正四棱柱中，已知AB＝2， ，

E、F分別為、上的點，且.

(1)求證：BE⊥平面ACF；

(2)求點E到平面ACF的距離．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

分析：（1）以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，寫出要用的點的坐標，要證明線與面垂直，只需證明這條直線與平面上的兩條直線垂直即可；（2）為平面的一個法向量，向量在上的射影長即為到平面的距離，根據點到面的距離公式可得到結論.

詳解：(1)證明：以D為原點，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標系，則D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、D1(0,0,5)、E(0,0,1)、F(2,2,4)．

∴＝(－2,2,0)、＝(0,2,4)、＝(－2，－2,1)、＝(－2，0,1)．

∵·＝0，·＝0，

∴BE⊥AC，BE⊥AF，且AC∩AF＝A.

∴BE⊥平面ACF.

(2)由(1)知，為平面ACF的一個法向量，

∴點E到平面ACF的距離d＝＝.

故點E到平面ACF的距離為.