Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AA1=4，AB=5，點D是AB的中點．
（1）求證：AC⊥BC1；
（2）求證：AC1∥平面CDB1 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵ABC﹣A1B1C1為直三棱柱，

∴CC1⊥平面ABC，AC平面ABC，

∴CC1⊥AC

∵AC=3，BC=4，AB=5，

∴AB2=AC2+BC2，∴AC⊥CB

又C1C∩CB=C，

∴AC⊥平面C1CB1B，又BC1平面C1CB1B，

∴AC⊥BC1

（2）證明：設CB1∩BC1=E，∵C1CBB1為平行四邊形，

∴E為C1B的中點

又D為AB中點，∴AC1∥DE

DE平面CDB1，AC1平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1

【解析】（1）利用ABC﹣A1B1C1為直三棱柱，證明CC1⊥AC，利用AB2=AC2+BC2 ， 說明AC⊥CB，證明AC⊥平面C1CB1B，推出AC⊥BC1 ． （2）設CB1∩BC1=E，說明E為C1B的中點，說明AC1∥DE，然后證明AC1∥平面CDB1 ．
【考點精析】通過靈活運用空間中直線與直線之間的位置關系和直線與平面平行的判定，掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點；平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行即可以解答此題．