Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在平面直角坐標系中，直線的參數方程為，其中為參數， ，再以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，其中， ，直線與曲線交于兩點.

（1）求的值；

（2）已知點，且，求直線的普通方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）先根據代入消元法將直線的參數方程化為普通方程，利用將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，聯立直線方程與拋物線方程，利用韋達定理代入可得的值；（2）由直線參數方程幾何意義得，再將直線的參數方程代入拋物線C的普通方程，利用韋達定理得， ， 三個條件聯立方程組解得，即得直線的普通方程.

試題解析：（Ⅰ）直線的普通方程為，

曲線C的極坐標方程可化為，

設， ，聯立與C的方程得： ，

∴，則，

∴.

（Ⅱ）將直線的參數方程代入拋物線C的普通方程，

得，

設交點對應的參數分別為，

則， ，

由得， ，

聯立解得，又，所以.

直線的普通方程為.（或）