Question

已知橢圓C:（a＞b＞0），點F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，點P(2,)在直線x=上，且|F₁F₂|=|PF₂|,直線:y=kx+m為動直線，且直線與橢圓C交于不同的兩點A、B。

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）若在橢圓C上存在點Q，滿足（O為坐標原點），求實數的取值范圍；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當取何值時，△ABO的面積最大，并求出這個最大值．

Answer 1

解：橢圓的左、右焦點分別為、 ，  

又，  ,       

解得，                   

橢圓的方程為 ．          

   （Ⅱ）由，得．

設點、的坐標分別為、，則

．

   （1）當時，點、關于原點對稱，則．

   （2）當時，點、不關于原點對稱，則，

由，得       即

點在橢圓上，有，

化簡，得．

，有．………………①       

又，

由，得．……………………………②　　 　

將①、②兩式，得．

，，則且．

綜合（1）、（2）兩種情況，得實數的取值范圍是．

（Ⅲ），點到直線的距離，

的面積

                ． 

由①有，代入上式并化簡，得．

，．            

當且僅當，即時，等號成立．

當時，的面積最大，最大值為．