Question

（1）把11本不同的書，分成四組，每組本數是1，2，3，5有幾種分組方法？
（2）把11本不同的書，分成五組，每組本數是2，2，3，3，1，有幾種分組方法？
（3）把11本不同的書，借給五個同學，每人本數是2，2，3，3，1，有幾種不同的借法？

Answer 1

分析：（1）首先從11本書中選1本，再從10本書中選2本，再從8本書中選3本，剩下5本作為最后一組，根據分步計數原理得到結果．
（2）首先從11本書中選2本，再從9本書中選2本，再從7本書中選3本，剩下4本選3本，最后1本作為一組，有四組是兩次重復出現，把求的結果除以兩個2的全排列．
（3）首先把書分組，從11本書中選2本，再從9本書中選2本，再從7本書中選3本，剩下4本選3本，最后1本作為一組，有四組是兩次重復出現，把這些書借給5個人看，還有一個排列．

解答：解：（1）把11本不同的書，分成四組，每組本數是1，2，3，5，
首先從11本書中選1本，再從10本書中選2本，
再從8本書中選3本，剩下5本作為最后一組，
根據分步計數原理知共有C₁₁¹C₁₀²C₈³C₅⁵=27720，

（2）把11本不同的書，分成五組，每組本數是2，2，3，3，1，
首先從11本書中選2本，再從9本書中選2本，
再從7本書中選3本，剩下4本選3本，最后1本作為一組，
有四組是兩次重復出現，
共有

C 2 11 C 2 9 C 3 7 C 3 4 C 1 1

A 2 2 A 2 2

=69300，

（3）把11本不同的書，借給五個同學，每人本數是2，2，3，3，1，
首先把書分組，從11本書中選2本，再從9本書中選2本，
再從7本書中選3本，剩下4本選3本，最后1本作為一組，
有四組是兩次重復出現，共有

C 2 11 C 2 9 C 3 7 C 3 4 C 1 1

A 2 2 A 2 2

=69300種分法，
把這些書借給5個人看，還有一個排列69300A₅⁵=8316000種結果．

點評：本題考查分步計數原理，考查排列組合的實際應用，考查平均分組問題，是一個易錯題，特別是平均分組以后還有一個排列，注意把三種情況進行比較．