Question

A、B是拋物線y=2x²上的兩點，直線l是線段AB的垂直平分線，當直線l的斜率為

1

2

時，則直線l在y軸上截距的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：設直線l的方程為 y=

1

2

 x+b，設AB的方程為y=-2x+c，把把AB的方程代入拋物線y=2x²化簡可得
2x²+2x-c=0，利用根與系數的關系及中點公式求得線段AB的中點M的坐標，把M的坐標代入直線l的方程可得c=b-

5

4

＞-

1

2

，解得b的范圍．

解答：解：設直線l的方程為 y=

1

2

x+b，則AB的斜率為-2，設AB的方程為y=-2x+c，
把AB的方程 y=-2x+c代入拋物線y=2x²化簡可得  2x²+2x-c=0，∴x₁+x₂=-1，、
且判別式△=4+8c＞0，∴c＞-

1

2

．
故線段AB的中點 M（-

1

2

，1+c ），由題意知，點 M（-

1

2

，1+c ）在直線l上，
∴1+c=

1

2

（-

1

2

）+b，∴c=b-

5

4

＞-

1

2

，∴b＞

3

4

，
故直線l在y軸上截距的取值范圍是 （

3

4

，+∞），
故答案為 （

3

4

，+∞）．

點評：本題考查拋物線的標準方程，以及簡單性質的應用，線段的中垂線的性質，得到 c=b-

5

4

＞-

1

2

，是解題的關鍵．