Question

若A、B是拋物線y²=4x上的不同兩點，弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點P，則稱弦AB是點P的一條“相關弦”．已知當x＞2時，點P（x，0）存在無窮多條“相關弦”．給定x₀＞2．
（I）證明：點P（x₀，0）的所有“相關弦”中的中點的橫坐標相同；
（II）試問：點P（x₀，0）的“相關弦”的弦長中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x₀表示）：若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）設AB為點P（x₀，0）的任意一條“相關弦”，且點A、B的坐標分別是（x₁，y₁）、（x₂，y₂）（x₁≠x₂），代入拋物線方程相減得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂）．設直線AB的斜率是k，弦AB的中點是M（x_m，y_m），則可表示出AB的斜率，進而可表示出AB的垂直平分線l的方程，把點P（x₀，0）代入求得x_m=x₀-2．答案可得．
（2）由（Ⅰ）知，弦AB所在直線的方程與拋物線方程聯立求得x₁•x₂的值，設點P的“相關弦”AB的弦長為l則根據l²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=整理得l關于x₀的函數，進而根據x₀的范圍求得答案．

解答：解：（I）設AB為點P（x₀，0）的任意一條“相關弦”，且點A、B的坐標分別是
（x₁，y₁）、（x₂，y₂）（x₁≠x₂），則y²₁=4x₁，y²₂=4x₂，
兩式相減得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂）．因為x₁≠x₂，所以y₁+y₂≠0、
設直線AB的斜率是k，弦AB的中點是M（x_m，y_m），則
k=

y1-y2

x1-x2

=

4

y1+y2

=

2

ym

．從而AB的垂直平分線l的方程為y-ym=-

ym

2

(x-xm).
又點P（x₀，0）在直線l上，所以-ym=-

ym

2

(x0-xm).
而y_m≠0，于是x_m=x₀-2．故點P（x₀，0）的所有“相關弦”的中點的橫坐標都是x₀-2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，弦AB所在直線的方程是y-y_m=k（x-x_m），代入y²=4x中，
整理得k²x²+2[k（y_m-kx_m）-2]x+（y_m-kx_m）²=0．（•）
則x₁、x₂是方程的兩個實根，且x1•x2=

(ym-kxm)2

k2

.
設點P的“相關弦”AB的弦長為l，則l²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=（1+k²）（x₁-x₂）²=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=4（1+k²）（x_m²-x₁x₂）
=4(1+

4

y 2 m

)[

x

2 m

-

(ym- 2 ym xm)2

4 y 2 m

]
=（4+y_m²）（4x_m-y_m²）=-y_m⁴+4y_m²（x_m-1）+16x_m
=4（x_m+1）²-[y_m²-2（x_m-1）]²=4（x₀-1）²-[y_m²-2（x₀-3）]²．
因為0＜y_m²＜4x_m=4（x_m-2）=4x₀-8，于是設t=y_m²，則t∈（0，4x₀-8）．
記l²=g（t）=-[t-2（x₀-3）]²+4（x₀-1）²．
若x₀＞3，則2（x₀-3）∈（0，4x₀-8），所以當t=2（x₀-3），即y_m²=2（x₀-3）時，
l有最大值2（x₀-1）．
若2＜x₀＜3，則2（x₀-3）≤0，g（t）在區間（0，4x₀-8）上是減函數，
所以0＜l²＜16（x₀-2），l不存在最大值．
綜上所述，當x₀＞3時，點P（x₀，0）的“相關弦”的弦長中存在最大值，且最大值
為2（x₀-1）；當2＜x₀≤3時，點P（x₀，0）的“相關弦”的弦長中不存在最大值．

點評：本題主要考查了拋物線的應用．考查了學生綜合分析問題和運算能力．