Question

17、設a為實數，函數f（x）=x²+|x-a|+1，x∈R．
（Ⅰ）若f（x）是偶函數，試求a的值；
（Ⅱ）求證：無論a取任何實數，函數f（x）都不可能是奇函數．

Answer 1

分析：（I）根據偶函數的定義建立恒等式f（-x）=f（x）在R上恒成立，從而求出a的值即可；
（II）利用反證法進行證明，先假設存在實數a，使函數f（x）是奇函數，則f（-x）=-f（x）在R上恒成立，求出f（0）=0，但無論a取何實數，f（0）=|a|+1＞0，與f（0）=0矛盾．從而矛盾說明，假設是錯誤的，最后肯定結論．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）是偶函數，∴f（-x）=f（x）在R上恒成立，
即（-x）²+|-x-a|+1=x²+|x-a|+1，
化簡整理，得ax=0在R上恒成立，（3分）
∴a=0．（5分）
（Ⅱ）證明：用反證法．假設存在實數a，使函數f（x）是奇函數，
則f（-x）=-f（x）在R上恒成立，∴f（0）=-f（0），∴f（0）=0，
但無論a取何實數，f（0）=|a|+1＞0，與f（0）=0矛盾．
矛盾說明，假設是錯誤的，所以無論a取任何實數，函數f（x）不可能是奇函數．

點評：本題主要考查了函數奇偶性的應用，以及反證法的思想，同時考查了計算的能力，屬于綜合題．