Question

設a為實數，函數f（x）=2x²+（x-a）|x-a|
（1）求f（a+1）；
（2）若a=3，用分段函數的形式表示f（x），并求出f（x）的最小值；
（3）求f（x）的最小值g（a）．

Answer 1

分析：（1）直接代入計算即可；
（2）由a=3，可得f（x）=2x²+（x-3）|x-3|=

3x2-6x+9，x≥3 x2+6x-9，x＜3

，利用二次函數的單調性即可得出；
（3）f（x）=

3x2-2ax+a2，x≥a x2+2ax-a2，x＜a

．分類討論：當a＞0時，x≥a時，f（x）=3(x-

a

3

)2+

2a2

3

；x＜a時，f（x）=（x+a）²-2a²．利用二次函數的單調性即可得出．
當a＜0時，x≥a時，f（x）=3(x-

a

3

)2+

2a2

3

；x＜a時，f（x）=（x+a）²-2a²≥f（a）=2a²．利用二次函數的單調性即可得出．當a=0時，f（x）=3x²≥0．

解答：解：（1）f（a+1）=2（a+1）²+（a+1-a）|a+1-a|=2（a+1）²+1；
（2）若a=3，則f（x）=2x²+（x-3）|x-3|=

3x2-6x+9，x≥3 x2+6x-9，x＜3

，
①當x≥3時，f（x）=3（x-1）²+6，函數f（x）在[3，+∞）上單調遞增，
∴x=3時，f（x）取得最小值，f（3）=18．
②當x＜3時，f（x）=（x+3）²-18，當x=-3時，f（x）取得最小值，f（-3）=-18．
（3）f（x）=

3x2-2ax+a2，x≥a x2+2ax-a2，x＜a

．
①當a＞0時，x≥a時，f（x）=3(x-

a

3

)2+

2a2

3

≥f（a）=2a²；
x＜a時，f（x）=（x+a）²-2a²≥f（-a）=-2a²．
綜上可得：a＞0時，f（x）_min=-2a²．
②當a＜0時，x≥a時，f（x）=3(x-

a

3

)2+

2a2

3

≥f（

a

3

）=

2a2

3

；
x＜a時，f（x）=（x+a）²-2a²≥f（a）=2a²．
綜上可得：a＜0時，f（x）_min=

2a2

3

．
③當a=0時，f（x）=3x²≥0，此時最小值為0．
綜上可得：當a≥0時，f（x）_min=-2a²；
        當a＜0時，f（x）_min=

2a2

3

．

點評：本題考查了含絕對值的函數的最小值、二次函數的單調性、分類討論等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．