Question

已知a=2（cosωx，cosωx），b=（cosωx，

3

sinωx）（其中0＜ω＜1），函數f（x）=a•b，若直線x=

π

3

是函數f（x）圖象的一條對稱軸，
（1）試求ω的值；
（2）先列表再作出函數f（x）在區間[-π，π]上的圖象．

Answer 1

分析：（1）利用兩個向量的數量積化簡f（x）的解析式，由題意知，x=

π

3

時，函數f（x）取最值，故有

2ωπ

3

+

π

6

=kπ+

π

2

（k∈Z）．
依據k、ω的范圍求出它們的值．
（2）根據五點法作圖的方法，分別令自變量x取-π、-

2π

3

、-

π

6

、

π

3

、

5π

6

、π，分別求出函數f（x）的值，
依據正弦函數的圖象特點，在坐標系中描點作圖．

解答：解：f（x）=

a

•

b

=2（cosωx，cosωx）•（cosωx，

3

sinωx）
=2cos²ωx+2

3

cosωxsinωx
=1+cos2ωx+

3

sin2ωx=1+2sin（2ωx+

π

6

）．
（1）∵直線x=

π

3

為對稱軸，∴sin（

2ωπ

3

+

π

6

）=±1，
∴

2ωπ

3

+

π

6

=kπ+

π

2

（k∈Z）．
∴ω=

3

2

k+

1

2

，∵0＜ω＜1，
∴-

1

3

＜k＜

1

3

，∴k=0，ω=

1

2

．
（2）由（1）知，f（x）=1+2sin（x+

π

6

）．
列表：

描點作圖，函數f（x）在[-π，π]上的圖象如圖所示．

點評：本題考查兩個向量的數量積公式的應用，兩角和差的三角函數公式的應用，以及用五點法作y=Asin（ωx+φ）的圖象．