Question

【題目】對于無窮數列，記，若數列滿足：“存在，使得只要（且），必有”，則稱數列具有性質.

（Ⅰ）若數列滿足判斷數列是否具有性質？是否具有性質？

（Ⅱ）求證：“是有限集”是“數列具有性質”的必要不充分條件；

（Ⅲ）已知是各項為正整數的數列，且既具有性質，又具有性質，求證：存在整數，使得是等差數列.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）數列不具有性質；具有性質;（Ⅱ）見解析;（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（1）根據新定義直接驗證即可的結論（2）對于“是有限集”是“數列具有性質”的必要不充分條件，先證不充分性對于周期數列， 是有限集，但是由于，

所以不具有性質；再證必要性因為數列具有性質，所以一定存在一組最小的且，滿足，即，所以數列中必然會以某個周期進行，所以數列中最多有個不同的項，從而得證（3）因為數列具有性質，數列具有性質，所以存在，使得， ，其中分別是滿足上述關系式的最小的正整數，然后根據其性質列出相關等式可得結論，然后逐一分析取值討論

試題解析：

（Ⅰ）數列不具有性質；具有性質.

（Ⅱ）（不充分性）對于周期數列， 是有限集，但是由于，

所以不具有性質；

（必要性）因為數列具有性質，

所以一定存在一組最小的且，滿足，即

由性質的含義可得

所以數列中，從第k項開始的各項呈現周期性規律： 為一個周期中的各項，

所以數列中最多有個不同的項，

所以最多有個元素，即是有限集.

（Ⅲ）因為數列具有性質，數列具有性質，

所以存在，使得， ，其中分別是滿足上述關系式的最小的正整數，

由性質的含義可得， ，

若，則取，可得；

若，則取，可得.

記，則對于，有， ，顯然，

由性質的含義可得， ，

所以

所以.

所以，

又是滿足， 的最小的正整數，

所以，

，

所以， ，

所以， ， ，

取，則，

所以，若是偶數，則；

若是奇數，則，

所以，

所以是公差為1的等差數列.