Question

（2013•涼山州二模）設函數f （x）=x³+3ax²-4（a∈R，x∈R），g（x）=-2ax²+x （a∈R，x∈R）．
（1）若函數f （x）在（0，2）上單調遞減，在區間（2，+∞）單凋遞增，求a的值；
（2）若函數y=f （x）+g （x）在R上有兩個不同的極值點，求

3g2(1)

f(1)+3

的取值范圍；
（3）若方程f²（x）-64f （x）=0，有且只有三個不同的實根，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意知，f （x）在x=2處取得的極大值，即f′（2）=0，解出a即可；
（2）由于y=x³+ax²+x-4在R上有兩個不同的極值點，則導函數滿足△=4a²-12＞0，解出a的范圍，
又由

3g2(1)

f(1)+3

=4a+

1

a

-4，即可得到

3g2(1)

f(1)+3

的取值范圍；
（3）由于f²（x）-64f （x）=0，則f （x）=0或f （x）=±8，分a等于0，大于0，小于0三種情況來討論函數f（x）的單調性，
進而依據函數的極值得到方程f²（x）-64f （x）=0，有且只有三個不同的實根時，實數a的取值范圍．

解答：解：（1）由于函數f（x）=x³+3ax²-4（a∈R，x∈R），
則f′（x）=3x²+6ax．
 由于函數f （x）在（0，2）上單調遞減，在區間（2，+∞）單凋遞增，
則f （x）在x=2處取得的極大值，
故f′（2）=3×2²+6a×2=0，解得a=-1；
（2）由于y=f （x）+g （x）=x³+3ax²-4-2ax²+x=x³+ax²+x-4，
則y′=3x²+2ax+1  
由于函數y=f （x）+g （x）在R上有兩個不同的極值點，
則△=4a²-12＞0，解得 a＜-

3

或a＞

3

．
又由

3g2(1)

f(1)+3

=

(1-2a)2

a

=4a+

1

a

-4，若令h(a)=4a+

1

a

則函數h（a）在區間（

3

，+∞）上遞增，在（-∞，-

3

）上也遞增，
故h(a)＜-

13 3

3

或h(a)＞

13 3

3

，
則

3g2(1)

f(1)+3

的取值范圍是(-∞，-

13 3 +12

3

)∪(

13 3 -12

3

，+∞)；
（3）由（1）知，f′（x）=3x²+6ax
由于f²（x）-64f （x）=0，則f （x）=0或f （x）=±8，
①當a=0時，f （x）=x³-4在R上單調遞增，
f （x）=0，f （x）=8，f （x）=-8各有一個實根，符合要求；
②當a＞0時，f′（x）=3x（x+2a），
則函數f（x）在（-∞，-2a）上遞增，在（-2a，0）上遞減，在（0，+∞）上遞增，
故函數f（x）的極大值為f（-2a）=4a³-4，極小值為f（0）=-4．
由于原方程要有且只有三個不同的實根，則必滿足 f（-2a）＜0，
故得到0＜a＜1時，符合要求；
③當a＜0時，則函數f（x）在（-∞，0）上遞增，在（0，-2a）上遞減，在（-2a，+∞）上遞增，
故函數f（x）的極大值為f（0）=-4，極小值為f（-2a）=4a³-4．
由于原方程要有且只有三個不同的實根，則必滿足 f（-2a）＞-8，
故得到-1＜a＜0時，符合要求．
綜上可知，若方程f²（x）-64f （x）=0，有且只有三個不同的實根，則a的取值范圍為（-1，1）．

點評：考查利用導數研究函數的單調性和圖象，體現了數形結合的思想方法．本題是一道含參數的函數、導數與方程的綜合題，需要對參數進行分類討論．屬中檔題．