Question

（本小題滿分13分）

    對于各項均為整數的數列，如果(=1，2，3，…)為完全平方數，則稱數

列具有“性質”。

    不論數列是否具有“性質”，如果存在與不是同一數列的，且同

時滿足下面兩個條件：①是的一個排列；②數列具有“性質”，則稱數列具有“變換性質”。

（I）設數列的前項和，證明數列具有“性質”；

（II）試判斷數列1，2，3，4，5和數列1，2，3，…，11是否具有“變換性質”，具有此性質的數列請寫出相應的數列，不具此性質的說明理由；

（III）對于有限項數列：1，2，3，…，，某人已經驗證當時，

數列具有“變換性質”，試證明：當”時，數列也具有“變換性質”。

 

Answer 1

【答案】

（I）證明見解析。

（II）數列1，2，3，4，5具有“變換P性質”，

數列為3，2，1，5，4。

數列1，2，3，…，11不具有“變換P性質”

因為11，4都只有5的和才能構成完全平方數

所以數列1，2，3，…，11不具有“變換P性質”

（III）證明見解析。

【解析】（I）當時，                                      …………1分

    …………2分

又。                                             …………3分

所以是完全平方數，

數列具有“P性質”                                                                   …………4分

（II）數列1，2，3，4，5具有“變換P性質”，                              …………5分

數列為3，2，1，5，4                                                            …………6分

數列1，2，3，…，11不具有“變換P性質”     …………7分

因為11，4都只有5的和才能構成完全平方數

所以數列1，2，3，…，11不具有“變換P性質”                             …………8分

（III）設

注意到

令

由于，

所以

又

所以

即                                                                              …………10分

因為當時，數列具有“變換P性質”

所以1，2，…，4m+4-j-1可以排列成

使得都是平方數                                                  …………11分

另外，可以按相反順序排列，

即排列為

使得

                              …………12分

所以1，2，可以排列成

滿足都是平方數.

即當時，數列A也具有“變換P性質”…………13分