Question

如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB=2，BC=1，AE=BE=

3

，若M，N分別是線段DE，CE上的動點，則AM+MN+NB的最小值為

3

．

Answer 1

分析：由面面垂直性質定理，得到AD⊥平面ABCD，從而Rt△ADE中，根據題中數據算出∠AED=∠AED=30°．證出△CDE中，是邊長為2的等邊三角形，從而∠DEC=60°．將四棱錐E-ABCD的側面沿展開鋪平如圖，在展開圖△ABE中由余弦定理算出AB長等于3，即為AM+MN+NB的最小值．

解答：解：∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，AD⊥AB
∴AD⊥平面ABCD，
可得Rt△ADE中，AD=1，AE=

3

，
∴∠AED=30°，同理得到∠BEC=30°
∵△CDE中，CD=DE=CE=2，∴∠DEC=60°，
將四棱錐E-ABCD的側面AED、DEC、CEB沿DE、CE展開鋪平如圖，
則展開圖△ABE中，∠AEB=120°，由余弦定理得
AB²=AE²+BE²-2AE•BE•cos120°=3+3-2×3×（-

1

2

）=9，
解之得AB=3，即AM+MN+BN的最小值為3．
故答案為：3．

點評：本題給出四棱錐E-ABCD，求折線AM+MN+BN的最小值．著重考查了面面垂直性質定理解三角形和空間問題平面化的思路等知識，屬于中檔題．