Question

設圓M：x²+y²=8，將曲線上每一點的縱坐標壓縮到原來的

1

2

，對應的橫坐標不變，得到曲線C．經過點M（2，1），平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m≠0），l交曲線C于A、B兩個不同點．
（1）求曲線C的方程；
（2）求m的取值范圍；
（3）求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）在曲線C上任取一個動點P（x，y），則點（x，2y）在圓x²+y²=8上．所以有x²+（2y）²=8．整理后就得到曲線C的方程．
（2）由題設條件可知直線l的方程為y=

1

2

x+m．聯立方程組后根據直線l與橢圓交于A、B兩個不同點可知△＞0，由此能夠推導出m的取值范圍．
（3）設直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，只需證明k₁+k₂=0即可．

解答：解：（1）在曲線C上任取一個動點P（x，y），則點（x，2y）在圓x²+y²=8上．所以有x²+（2y）²=8．整理得曲線C的方程為

x2

8

+

y2

2

=1．
它表示一個焦點在x軸上的橢圓．
（2）∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m，又KOM=

1

2

，
∴直線l的方程為y=

1

2

x+m．
由

y= 1 2 x+m x2 8 + y2 2 =1.

∴x2+2mx+2m2-4=0，
∵直線l與橢圓交于A、B兩個不同點，∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，
解得-2＜m＜2且m≠0．∴m的取值范圍是-2＜m＜0或0＜m＜2．
（3）設直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

，由x²+2mx+2m²-4=0可得x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4.k1+k2=

y1-1

x1-2

，+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

( 1 2 x1+m-1)(x2-2)+( 1 2 x2+m-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

x1x2+(m-2)(x1+x2)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4-2m2+4m-4m+4

(x1-2)(x2-2)

=0．
k₁+k₂=0．故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．

點評：本題綜合考查橢圓和直線的位置關系，難度較大，解題時要注意公式的靈活運用，仔細審題，避免不必要的錯誤．