Question

設圓M：x²+y²=8，將曲線上每一點的縱坐標壓縮到原來的，對應的橫坐標不變，得到曲線C．經過點M（2，1），平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m≠0），l交曲線C于A、B兩個不同點．
（1）求曲線C的方程；
（2）求m的取值范圍；
（3）求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．

Answer 1

解：（1）在曲線C上任取一個動點P（x，y），則點（x，2y）在圓x²+y²=8上．所以有x²+（2y）²=8．整理得曲線C的方程為．
它表示一個焦點在x軸上的橢圓．
（2）∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m，又，
∴直線l的方程為．
由，
∵直線l與橢圓交于A、B兩個不同點，∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，
解得-2＜m＜2且m≠0．∴m的取值范圍是-2＜m＜0或0＜m＜2．
（3）設直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），，，由x²+2mx+2m²-4=0可得x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4.===．
k₁+k₂=0．故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．
分析：（1）在曲線C上任取一個動點P（x，y），則點（x，2y）在圓x²+y²=8上．所以有x²+（2y）²=8．整理后就得到曲線C的方程．
（2）由題設條件可知直線l的方程為．聯立方程組后根據直線l與橢圓交于A、B兩個不同點可知△＞0，由此能夠推導出m的取值范圍．
（3）設直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，只需證明k₁+k₂=0即可．
點評：本題綜合考查橢圓和直線的位置關系，難度較大，解題時要注意公式的靈活運用，仔細審題，避免不必要的錯誤．