Question

已知橢圓C的方程為

x2

a2

+ 

y2

b2

=1（a＞b＞0），稱圓心在坐標原點O，半徑為

a2+b2

的圓為橢圓C的“伴隨圓”，橢圓C的短軸長為2，離心率為

6

3

．
（Ⅰ）求橢圓C及其“伴隨圓”的方程；
（Ⅱ）若直線l與橢圓C交于A，B兩點，與其“伴隨圓”交于C，D兩點，當|CD|=

13

 時，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意得，e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=1-

b2

a2

=

2

3

，由b=1，知a²=3，由此能求出橢圓C的方程和“伴隨圓”的方程．
（Ⅱ）當CD⊥x軸時，由|CD|=

13

，得|AB|=

3

．當CD與x軸不垂直時，由|CD|=

13

，得圓心O到CD的距離為

3

2

．設直線CD的方程為y=kx+m，則由

|m|

1+k2

=

3

2

，得m2=

3

4

(k2+1)，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=kx+m x2 3 +y2=1

，得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0．故x1+x2=

-6km

3k2+1

，x1x2=

3m2-3

3k2+1

，由此能求出△AOB的面積取最大值．

解答：解：（Ⅰ）由題意得，e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=1-

b2

a2

=

2

3

，
又∵b=1，∴a²=3，∴橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1，（3分）
∵

a2+b2

=

3+1

=2，
∴“伴隨圓”的方程為x²+y²=4．（4分）
（Ⅱ）①當CD⊥x軸時，由|CD|=

13

，得|AB|=

3

．
②當CD與x軸不垂直時，由|CD|=

13

，得圓心O到CD的距離為

3

2

．
設直線CD的方程為y=kx+m，則由

|m|

1+k2

=

3

2

，得m2=

3

4

(k2+1)，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=kx+m x2 3 +y2=1

，得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0．
∴x1+x2=

-6km

3k2+1

，x1x2=

3m2-3

3k2+1

．（6分）
當k≠0時，|AB|2=(1+k2)(x1-x2)2
=(1+k2)[(

-6km

3k2+1

)2-

12(m2-1)

3k2+1

]
=（1+k²）[

36k2m2

(3k2+1) 2

-

12(m2-1)

3k2+1

]
=

3(1+k2)(9k2+1)

(3k2+1)2

=3+

12k2

9k4+6k2+1

=3+

12

9k2+ 1 k2 +6

≤3+

12

2×3+6

=4．
當且僅當9k²=

1

k2

，即k=±

3

3

時等號成立，此時|AB|=2．
當k=0時，|AB|=

3

，綜上所述：|AB|_max=2，
此時△AOB的面積取最大值S=

1

2

|AB|_max×

3

2

=

3

2

．（10分）

點評：本題考查橢圓和“伴隨圓”的方程，考查三角形面積最大值的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．