Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=eax（a≠0）．
（1）當(dāng) 時(shí)，令 （x＞0），求函數(shù)g（x）在[m，m+1]（m＞0）上的最小值；
（2）若對(duì)于一切x∈R，f（x）﹣x﹣1≥0恒成立，求a的取值集合；
（3）求證： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a= 時(shí)，g（x）= ，則g'（x）= ．

當(dāng) ﹣1＞0，即x＞2時(shí)，g'（x）＞0；

當(dāng) ﹣1＜0且x≠0，即x＜2或0＜x＜2時(shí)，g'（x）＜0．

則g（x）的增區(qū)間為（2，+∞），減區(qū)間為（﹣∞，0），（0，2）．

因?yàn)閙＞0，所以m+1＞1，

①當(dāng)m+1≤2，即0＜m≤1時(shí)，g（x）在[m，m+1]上單調(diào)遞減，

所以g（x）min=g（m+1）=

②當(dāng)m＜2＜m+1，即1＜m＜2時(shí)，g（x）在[m，2]上單調(diào)遞減，

在[2，m+1]上單調(diào)遞增，所以g（x）min=g（2）=

③當(dāng)m≥2時(shí)，g（x）在[m，m+1]上單調(diào)遞增，所以g（x）min=g（m）= ．

綜上，g（x）min=

（2）解：設(shè)h（x）=f（x）﹣x﹣1=eax﹣x﹣1

若a＜0，則對(duì)一切x＞0，h（x）＜0這與題設(shè)矛盾．

又a≠0，故a＞0．而h'（x）=aeax﹣1，令h'（x）=0，得x= ，

當(dāng)x＜ 時(shí)，h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x＞ 時(shí)，h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增．

故當(dāng)x= 時(shí)，h（x）取最小值 ﹣ ﹣1．

于是對(duì)一切x∈R，h（x）≥0恒成立，當(dāng)且僅當(dāng) ﹣1≥0①

令φ（x）=t﹣tlnt﹣1，則φ'（x）=﹣lnt

當(dāng)0＜t＜1時(shí)，φ'（t）＞0，φ（t）單調(diào)遞增；

當(dāng)t＞1時(shí)，φ'（t）＜0，φ（t）單調(diào)遞減，

故當(dāng)t=1時(shí)，φ（t）取最大值φ（1）=0，

因此，當(dāng)且僅當(dāng) =1，即a=1時(shí)，①式成立．

綜上所述，a的取值集合為{1}

（3）證明：由（2）可知，當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）= ，

所以 （x＞0），

可得 ≤

于是 +

≤

＜

= ＜

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的表達(dá)式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，通過討論m的范圍求出函數(shù)的最小值即可；（2）設(shè)h（x）=f（x）﹣x﹣1=eax﹣x﹣1，求出a＞0，解根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到當(dāng)且僅當(dāng) ﹣1≥0①令φ（x）=t﹣tlnt﹣1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；（3）由g（x）= ，可得 ≤ ，根據(jù)不等式的性質(zhì)證明即可．