Question

（2013•懷化二模）如圖展示了一個由區間（0，k）（其中k為一正實數）到實數集R上的映射過程：區間（0，k）中的實數m對應線段AB上的點M，如圖1；將線段AB圍成一個離心率為

3

2

的橢圓，使兩端點A、B恰好重合于橢圓的一個短軸端點，如圖2；再將這個橢圓放在平面直角坐標系中，使其中心在坐標原點，長軸在x軸上，已知此時點A的坐標為（0，1），如圖3，在圖形變化過程中，圖1中線段AM的長度對應于圖3中的橢圓弧ADM的長度．圖3中直線AM與直線y=-2交于點N（n，-2），則與實數m對應的實數就是n，記作f（m）=n，

現給出下列5個命題①f(

k

2

)=6；②函數f（m）是奇函數；③函數f（m）在（0，k）上單調遞增；④函數f（m）的圖象關于點(

k

2

，0)對稱；⑤函數f(m)=3

3

時AM過橢圓的右焦點．其中所有的真命題是（　　）

A．①③⑤

B．②③④

C．②③⑤

D．③④⑤

Answer 1

分析：本題利用直接法和排除法解決．由題意知，①可直接求解其函數值進行判斷；
②函數f（x）的定義域為（0，k），不關于原點對稱，函數f（x）是非奇非偶函數；
③當x從0→k變化時，點N逐漸右移，其對應的坐標值逐漸變大；
④由于當m=

k

2

時，對應的點M是橢圓的另一短軸端點，所以f（x）的圖象關于點（

k

2

，0）對稱；
⑤由于函數f(m)=3

3

，可求N點坐標，聯立A點，可求直線AM，進而即可判斷此時AM是否過橢圓的右焦點．

解答：解：由題意知，①當m=

k

2

時，對應的點M是橢圓的另一短軸端點，f（

k

2

）=0，故①錯誤；
②∵函數f（x）的定義域為（0，4），關于原點不對稱，∴函數f（x）不可能是奇函數，故②錯誤；
③當x從0→k變化時，點N逐漸右移，其對應的坐標值逐漸變大，故③正確；
④由于當m=

k

2

時，對應的點M是橢圓的另一短軸端點，所以f（x）的圖象關于點（

k

2

，0）對稱，故④正確；
⑤由于函數f(m)=3

3

，則N（3

3

，-2），故AM方程是：y=-

3

3

x+1，
又由橢圓的右焦點坐標為（

3

，0），所以函數f(m)=3

3

時AM過橢圓的右焦點，故⑤正確．
故答案為：③④⑤．

點評：本題主要考查了映射和函數的概念及其構成要素，具有一定的新意，關于新定義型的題，關鍵是理解定義，并會用定義來解題．