Question

已知曲線y=x³+3x，
（1）求這條曲線平行于直線y=15x+3的切線方程；
（2）求過（0，2）的這條曲線切線方程．

Answer 1

分析：（1）利用導數的幾何意義和相互平行的直線的斜率相等即可得出；
（2）設切點為P（x₀，y₀），由y^′=3x²+3，可得切線的斜率為3

x

2 0

+3，進而可得切線的方程，把點（0，2）代人即可得到．

解答：解：（1）設切點為P（x₀，y₀），∵y^′=3x²+3，∴切線的斜率為3

x

2 0

+3．
∵切線平行于直線y=15x+3，∴3

x

2 0

+3=15，解得x₀=±2．
∴切點為（2，14）或（-2，-14）．
∴切線方程為y-14=15（x-2）或y+14=15（x+2），即15x-y-16=0或15x-y+16=0．
（2）設切點為P（x₀，y₀），∵y^′=3x²+3，∴切線的斜率為3

x

2 0

+3．
∴切線方程為y-(

x

3 0

+3x0)=(3

x

2 0

+3)(x-x0)，
∵切線過（0，2），∴2-(

x

3 0

+3x0)=(3

x

2 0

+3)(0-x0)，
化為

x

3 0

=-1，解得x₀=-1．
∴切線方程為y+4=6（x+1），化為6x-y+2=0．

點評：熟練掌握利用導數的幾何意義和切線的方程是解題的關鍵．