Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線方程；

（Ⅱ）設(shè)，其中為非零實(shí)數(shù)，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）詳見(jiàn)解析

【解析】試題分析: （Ⅰ）設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率等于切點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值，切點(diǎn)在切線上也在曲線上列方程組，可解得切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)斜式寫出切線方程，（Ⅱ）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定有兩個(gè)極值點(diǎn)的條件:，并求出極值點(diǎn)，再研究函數(shù)，此時(shí)先將用表示，轉(zhuǎn)化為證明一元函數(shù)在上最小值大于零，這可以利用導(dǎo)數(shù)易得.

試題解析:解：（Ⅰ）

設(shè)切點(diǎn)為，則切線的斜率為

點(diǎn)在上，

，解得

切線的斜率為，切線方程為

（Ⅱ）

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，由得，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，由得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，即，

，由得，

由

，即證明

即證明

構(gòu)造函數(shù)，

在上單調(diào)遞增，

又，所以在時(shí)恒成立，即成立

.