Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，AB=AA1=2

2

，點D是AB的中點，點E是BB₁的中點．
（1）求證：A₁B⊥平面CDE；
（2）求三棱錐A₁-CDE的體積．

Answer 1

分析：（1）先證CD⊥平面ABB₁A₁，可得A₁B⊥CD，再由正方形的性質可得A₁B⊥DE，從而證得A₁B⊥平面CDE．
 （2）求出棱錐的底面CDE的面積，再求出錐高A₁M，代入體積公式進行運算．

解答：解：（1）證明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是AB中點，CD⊥AB，又BB₁⊥CD，∴CD⊥平面ABB₁A₁ ．
又∵A₁B?平面ABB₁A₁，∴A₁B⊥CD，又∵ABB₁A₁是正方形，AB₁∥DE，A₁B⊥DE．
CD∩DE=D，A₁B⊥平面CDE．
（2）CD=

2

，DE=

1

2

AB1=2，∴S△CDE=

2 2

2

=

2

，A₁M=A₁B-BM=4-1-3，
∴VA1-CDE=

1

3

×S△CDE×A1M=

2

．

點評：本題考查證明線線垂直、線面垂直的方法，求棱錐的體積，求棱錐的高A₁M 是解題的難點．