Question

（1）已知a，b，c均為實數，求證：a²+b²+c²≥

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3

(a+b+c)2．
（2）若a，b，c均為實數，且a=x²-2y+

1

3

，b=y²-2z+3，c=z²-2x+

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6

．求證：a，b，c中至少有一個大于0．

Answer 1

分析：（1）利用分析法，要證a²+b²+c²≥

1

3

(a+b+c)2，需證…，只需證…，即證（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²≥0，該式成立，從而可證原結論成立；
（2）利用反證法，假設a，b，c中沒有一個大于0（即均≤0），導出矛盾，從而使要證的結論成立．

解答：解：（1）要證a²+b²+c²≥

1

3

(a+b+c)2，
需證3（a²+b²+c²）≥（a+b+c）²，
即證2（a²+b²+c²）≥2ab+2ac+2bc，
即證（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²≥0，該式顯然成立，
故原結論成立；
（2）假設

a≤0 b≤0 c≤0

，即

x2-2y+ 1 3 ≤0① y2-2z+3≤0② z2-2x+ 1 6 ≤0③

，
①+②+③得：x²+y²+z²-2x-2y-2z+3+

1

3

+

1

6

=（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²+

1

2

≤0，
∵（x-1）²≥0，（y-1）²≥0，（z-1）²≥0，
∴（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²+

1

2

≥

1

2

，
∴（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²+

1

2

≤0是不可能的，即x²+y²+z²-2x-2y-2z+3+

1

3

+

1

6

≤0是不可能的，
∴假設不成立，
∴a，b，c中至少有一個大于0．

點評：本題考查不等式的證明，著重考查分析法與反證法的應用，考查推理證明能力，屬于中檔題．