Question

（1）已知a＞b＞c，且a+b+c=0，求證：

b2-ac

a

＜

3

；
（2）若不等式

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n+1

＞

a

24

對一切正整數n都成立，求正整數a的最大值，并用數學歸納法證明此時的不等式．

Answer 1

分析：（1）a＞b＞c，a+b+c=0⇒a＞0，b=-（a+c），（a-b）（a-c）＞0，將b=-（a+c）代入（a-b）（a-c）＞0整理即可證得結論；
（2）先計算n=1時的情形，猜測a的值，再用數學歸納法證明即可．

解答：（1）證明：∵a＞b＞c，
∴（a-b）（a-c）＞0①，又a+b+c=0，故a＞0，
∴b=-（a+c）代入①得
（2a+c）（a-c）＞0，即2a²-ac-c²＞0，
∴a²+ac+c²＜3a²，（1）
又a²+ac+c²=(a+

c

2

)2+

3c2

4

≥0，②
（1）式兩邊開方得：

a2+ac+c2

＜

3

a，a＞0，
∴

a2+ac+c2

a

＜

3

，即

(a+c)2-ac

a

＜

3

，而b=-（a+c），
∴

b2-ac

a

＜

3

．
（2）證明：當n=1時，

1

1+1

+

1

1+2

+

1

1+3

=

26

24

＞

a

24

，
∴a＜26，又a∈N^*，
∴取a=25，
下面用數學歸納法證明：

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n+1

＞

25

24

．，
①當n=1時，已證；
②假設當n=k時，

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

3k+1

＞

25

24

成立，
則當n=k+1時，有

1

(k+1)+1

+

1

(k+1)+2

+…+

1

3k+1

+

1

3k+2

+

1

3k+3

+

1

3(k+1)+1

=（

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

3k+1

）+（

1

3k+2

+

1

3k+3

+

1

3k+4

-

1

k+1

）
＞

25

24

+

1

3k+2

+

1

3k+4

-

2

3(k+1)

，
∵

1

3k+2

+

1

3k+4

-

2

3(k+1)

=

2

3(k+1)(3k+2)(3k+4)

＞0，
∴

1

(k+1)+1

+

1

(k+1)+2

+…+

1

3k+1

+

1

3k+2

+

1

3k+3

+

1

3(k+1)+1

＞

25

24

成立；
由①②可知，對一切n∈N^*，都有不等式

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n+1

＞

25

24

成立．　
∴a的最大值為25．

點評：本題考查不等式的證明，著重考查數學歸納法的應用，突出運算與推理能力的考查，屬于難題．