Question

已知△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且tanBtanC-

3

(tanB+tanC)=1．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）現給出三個條件：①a=1；②b=2sinB；③2c-(

3

+1)b=0．試從中選擇兩個條件求△ABC的面積（注：只需選擇一個方案答題，如果用多種方案答題，則按第一種方案給分）．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和的正切公式轉化出tan（B+C）的值是求解角A的關鍵．用好A+B+C=π這一條件．
（2）選擇①③這兩個邊的條件，利用余弦定理求解出b，c，進而利用面積公式求三角形的面積．

解答：解：（Ⅰ）由tanBtanC-

3

(tanB+tanC)=1，
得

tanB+tanC

1-tanBtanC

=-

3

3

，
所以tan(B+C)=-

3

3

，tanA=-tan(B+C)=

3

3

，
所以A=

π

6

（Ⅱ）選擇①③，∵A=30°，a=1，2c-（

3

+1）b=0，
所以c=

3 +1

2

b，
則根據余弦定理，得12=b2+(

3 +1

2

b)2-2b•

3 +1

2

b•

3

2

，
解得b=

2

，則c=

6 + 2

2

∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×

2

×

6 + 2

2

×

1

2

=

3 +1

4

．

點評：本題屬于開放性問題．解決本題的關鍵用好三角形中各角之和為π這一條件進行角之間的轉化，考查學生解三角形的基本知識．屬于基本題型．